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全国2019年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题及答案解析

试卷说明:

1、本试卷共分为小题,作答时间为分钟,总分100分,60分及格。
2、试卷年份:2019-04-17
3、试卷来源:中国自考教育中心网 100分

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单项选择题:   本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。


1

下列等式中,正确的是( )

A.

B.

3=

C.

5

D.

A. B. C. D.

正确答案:D



2

下列矩阵中,是初等矩阵的为( )

A.

B.

C.

D.

A. B. C. D.

正确答案:C



3

设A、B均为n阶可逆矩阵,且C=,则C-1是(      )

A.

B.

C.

D.

A. B. C. D.

正确答案:C



4

A为3阶矩阵,A的秩r (A)=3,则矩阵A*的秩r (A*)=(      )

A.0

B.1

C.2

D.3

A. B. C. D.

正确答案:D

专家解析:

阶矩阵,则,故向量组



5

设向量,若有常数a,b使

则(      )

A.a=-1, b=-2

B.a=-1, b=2

C.a=1, b=-2

D.a=1, b=2

A. B. C. D.

正确答案:A

专家解析:

,故



6

向量组的极大线性无关组为(      )

A.

B.

C.

D.

A. B. C. D.

正确答案:A

专家解析:

故向量组的极大线性无关组为



7

设矩阵A=,那么矩阵A的列向量组的秩为(      )

A.3

B.2

C.1

D.0

A. B. C. D.

正确答案:B

专家解析:

,故矩阵的列向量组的秩



8

是可逆矩阵A的一个特征值,则矩阵有一个特征值等于(      )

A.

B.

C.

D.

A. B. C. D.

正确答案:D



9

设矩阵A=,则A的对应于特征值的特征向量为(      )

A.

(0,0,0)T

B.

(0,2,-1)T

C.

(1,0,-1)T

D.

(0,1,1)T

A. B. C. D.

正确答案:B

专家解析:

因为的一个特征值,则等价方程组为,故的对应于特征值的特征向量为



10

二次型的矩阵为(      )

A.

B.

C.

D.

A. B. C. D.

正确答案:C



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填空题:   (本大题共10小题,每小题2分,共20分)    请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。


11

行列式

1、
(温馨提示:如果要输入公式,请先在word中编辑之后再粘贴进来)

正确答案: 2

专家解析:



12

行列式中第4行各元素的代数余子式之和为

1、
(温馨提示:如果要输入公式,请先在word中编辑之后再粘贴进来)

正确答案: 0

专家解析:



13

设矩阵A=B=(1,2,3),则BA=

1、
(温馨提示:如果要输入公式,请先在word中编辑之后再粘贴进来)

正确答案: (14,O)



14

设3阶方阵A的行列式|A|=,则|A3|=

1、
(温馨提示:如果要输入公式,请先在word中编辑之后再粘贴进来)

正确答案:

专家解析:



15

ABn阶方阵,且AB=EA-1B=B-1A=E,则A2+B2=

1、
(温馨提示:如果要输入公式,请先在word中编辑之后再粘贴进来)

正确答案:

专家解析:

易知



16

已知3维向量=(1,-3,3),(1,0,-1)则+3=

1、
(温馨提示:如果要输入公式,请先在word中编辑之后再粘贴进来)

正确答案: (4,-3,0)



17

设向量=(1,2,3,4),则的单位化向量为

1、
(温馨提示:如果要输入公式,请先在word中编辑之后再粘贴进来)

正确答案:

专家解析:

的单位化向量为



18

n阶矩阵A的各行元素之和均为0,且A的秩为n-1,则齐次线性方程组Ax=0的通解

1、
(温馨提示:如果要输入公式,请先在word中编辑之后再粘贴进来)

正确答案:

(为任意常数)



19

设3阶矩阵AB相似,若A的特征值为,则行列式|B-1|=

1、
(温馨提示:如果要输入公式,请先在word中编辑之后再粘贴进来)

正确答案: 24

专家解析:

因为矩阵相似所以的特征值为的特征值为2,3,4,



20

A=是正定矩阵,则a的取值范围为

1、
(温馨提示:如果要输入公式,请先在word中编辑之后再粘贴进来)

正确答案:

专家解析:

因为是正定矩阵,故



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计算题:   (本大题共6小题,每小题9分,共54分)


21

已知矩阵A=B=

求:(1)ATB

(2)|ATB|.


(温馨提示:如果要输入公式,请先在word中编辑之后再粘贴进来)

正确答案:

(1)

(2)



22

A=B=C=,且满足AXB=C,求矩阵X.


(温馨提示:如果要输入公式,请先在word中编辑之后再粘贴进来)

正确答案:

由于,所以可逆.

经计算

又由于所以可逆且



23

求向量组=(1, 2, 1, 0)T=(1, 1, 1, 2)T=(3, 4, 3, 4)T

=(4, 5, 6, 4)T的秩与一个极大线性无关组. 


(温馨提示:如果要输入公式,请先在word中编辑之后再粘贴进来)

正确答案:

为列向量构成矩阵

由此可知的列向量组的秩为3,且第1,2,4列为的列向量组的一个极大线性无关组,所以向量组的秩为3,为原向量组的一个极大线性无关组(

也是一个极大线性无关组).



24

判断线性方程组是否有解,有解时求出它的解.


(温馨提示:如果要输入公式,请先在word中编辑之后再粘贴进来)

正确答案:

 

由此得

所以方程组无解.



25

已知2阶矩阵A的特征值为=1,=9,对应的特征向量依次为=(-1,1)T

=(7,1)T,求矩阵A.


(温馨提示:如果要输入公式,请先在word中编辑之后再粘贴进来)

正确答案:

由于线性无关,令,则由,得到

  

  



26

已知矩阵A相似于对角矩阵Λ=,求行列式|A-E|的值.


(温馨提示:如果要输入公式,请先在word中编辑之后再粘贴进来)

正确答案:

因为相似,所以存在可逆矩阵,使



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证明题:   (本大题共6分)


27

An阶对称矩阵,Bn阶反对称矩阵.证明:

(1)AB-BA为对称矩阵;

(2)AB+BA为反对称矩阵.


(温馨提示:如果要输入公式,请先在word中编辑之后再粘贴进来)

正确答案:

证明:已知,则

(1)

所以为对称矩阵;

(2)

所以为反对称矩阵.